Leibniz(ライプニッツ)級数
1-xn = (1-x)(1+x+x2+・・・+xn-1)
であるから
1/(1-x)=1+x+x2+・・・+xn-1+xn/(1-x)
が、x≠1 で成立する。この式で x の代わりに -x2を代入すると
1/(1+x2)=1-x2+x4-・・・+(-1)n-1x2n-2 + (-1)nx2n/(1+x2)
が得られる。両辺を0からxまで積分すると
arctan x = x - x3/3 + x5/5 - ・・・+(-1)n-1x2n-1/(2n-1)+ ・・・
となる(-1≦x≦1)。ここで、特に x = 1 の場合を考えると、
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - ・・・+(-1)n-1/(2n-1)+・・・
となる。これがLeibniz(ライプニッツ)級数であり、これよりπの近似値を算出することが可能となる。
次は、Leibniz(ライプニッツ)級数の和を利用してπの近似値を求めるアプレットである。
テキストフィールドにLeibniz(ライプニッツ)級数の項数を入力し、Enterキーを押すとπの近似値が出力される。