Tschebyscheff(チェビシェフ)の多項式

T_k(x)=coskθ , x = cosθ , k = 0,1,2, ...

で定義される多項式である。従って、k=0,1,3 ... の場合は

T0(x) = 0

T1(x) = x

T2(x) = cos2θ = 2cos2θ- 1 ＝2x2-1

T3(x) = cos3θ = 2cos3θ- cosθ -2cosθ(1-cos2θ)＝4x3-3x

.........
となる。これらの多項式をk次のTschebyscheffの多項式という。
ここで、三角関数の加法定理より
cos{(k-1)θ+θ} + cos{(k-1)θ-θ}=2cosθcos(k-1)θ
が成り立つので、
coskθ = 2cosθcos(k-1)θ-cos(k-2)θ、即ち

T_k(x) = 2xT_k-1(x) - T_k-2(x)

の漸化式が、Tschebyscheffの多項式には成立することになる。

次は、k次のTschebyscheffの多項式のグラフを描くアプレットです。